Teorema:

Seja

$$p \in \mathbb{Z}$$

, e

$$a, b, n \in \mathbb{N}$$

, se

$$p^a \equiv 1 \text{ mod } n$$

e

$$p^b \equiv 1 \text{ mod } n$$

, então

$$p^{\text{mdc}(a,b)} \equiv 1 \text{ mod } n$$

.

Demonstração:

Seja

$$a,b \in \mathbb{N}$$

, pelo Teorema de Bachet-Bézout {% cite Martinez -L Teorema -l Teorema 1.7 %}, existe

$$x, y \in \mathbb{Z}$$

, tal que

$$ax + by = \text{mdc}(a, b)$$

, então:

$$ p^{\text{mdc}(a, b)} = p^{ax + by} = (p^a)^x \cdot (p^b)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \text{ mod } n \equiv 1 \text{ mod } n $$

q.e.d.

Bibliografia #

{% bibliography –cited %}