Teorema:

Seja

$$n \in \mathbb{N}$$

,

$$A = \{n \in \mathbb{N}: n + 1 \mid n^2 + 1\} = \{1\}$$

.

Demonstração:

Assumindo que

$$n + 1 \mid n^2 + 1$$

, então:

$$ \begin{cases} n + 1 \mid n^2 + 1 \newline n + 1 \mid n + 1 \end{cases} \implies n + 1 \mid n^2 + 1 - n(n + 1) \iff n + 1 \mid -n + 1 $$

Usando a propriedade da Limitação {% cite Martinez -L Lemma -l Lemma 1.1 alínea (ii) %}, dado que

$$| -n + 1 | < | n + 1|$$

, para

$$n \in \mathbb{N}$$

, então

$$-n + 1 = 0 \iff n = 1$$

, pelo que concluímos que

$$A = \{ 1 \}$$

.

q.e.d.

Bibliografia #

{% bibliography –cited %}