Discrete-Mathematics on cpmachado

326^2 - 325^2 = 0 mod 3

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Sat, 03 Jun 2023 00:23:30 +0100

Teorema:

$$326^2 - 325^2 \equiv 0 \text{ mod } 3$$

Demonstração:

$$326^2 - 325^2 = (326 + 325) (326 - 325) = 651 = 217 \cdot 3 \equiv 0 \text{ mod } 3$$

q.e.d.

n + 1 | n^2 + 1

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Fri, 02 Jun 2023 23:42:22 +0100

Teorema:

Seja

$$n \in \mathbb{N}$$

$$A = \{n \in \mathbb{N}: n + 1 \mid n^2 + 1\} = \{1\}$$

Demonstração:

Assumindo que

$$n + 1 \mid n^2 + 1$$

, então:

$$ \begin{cases} n + 1 \mid n^2 + 1 \newline n + 1 \mid n + 1 \end{cases} \implies n + 1 \mid n^2 + 1 - n(n + 1) \iff n + 1 \mid -n + 1 $$

Usando a propriedade da Limitação {% cite Martinez -L Lemma -l Lemma 1.1 alínea (ii) %}, dado que

p^{mdc(a,b)} = 1 mod n

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Fri, 02 Jun 2023 23:24:17 +0100

Teorema:

Seja

$$p \in \mathbb{Z}$$

, e

$$a, b, n \in \mathbb{N}$$

, se

$$p^a \equiv 1 \text{ mod } n$$

$$p^b \equiv 1 \text{ mod } n$$

, então

$$p^{\text{mdc}(a,b)} \equiv 1 \text{ mod } n$$

Demonstração:

Seja

$$a,b \in \mathbb{N}$$

, pelo Teorema de Bachet-Bézout {% cite Martinez -L Teorema -l Teorema 1.7 %}, existe

$$x, y \in \mathbb{Z}$$

, tal que

$$ax + by = \text{mdc}(a, b)$$

, então:

$$ p^{\text{mdc}(a, b)} = p^{ax + by} = (p^a)^x \cdot (p^b)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \text{ mod } n \equiv 1 \text{ mod } n $$

q.e.d.

Counting integer divisors

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Tue, 30 May 2023 18:37:46 +0100

TL&DR: Although I’ve been using Python for years, its set notation still amazes me for its expressiveness. In this case to count integer divisors, given a specific predicate.

Context #

This semester I’m doing a course on Discrete Mathematics. I had an exercise to count integer divisors of a given number, which weren’t divisible by another given number.

To verify my reply, which involved a bit more of analysis, Python enabled me to write a quick script that could do it.

169 | 3^{3n + 3} - 26n -27

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Tue, 30 May 2023 15:22:57 +0100

Teorema:

Para

$$n \in \mathbb{N}$$

, tem-se

$$169 \mid 3^{3n + 1} - 26n - 27$$

Demonstração:

Para

$$n = 1$$

, tem-se

$$ 3^6 - 26 - 27 = 729 - 53 = 676 = 4 \cdot 169$$

, que verifica o caso base.

Fixado

$$n \in \mathbb{N}$$

, suponhamos:

$$169 \mid 3^{3n + 3} - 26n - 27 \text{ (Hipótese de Indução)}$$

Pretende-se provar que:

$$169 \mid 3^{3(n + 1) + 3} - 26(n + 1) - 27 \text{ (Tese de Indução)}$$

Passo de indução:

3^{3n} = 1 mod 13

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Tue, 30 May 2023 14:59:58 +0100

Teorema:

Seja

$$n \in \mathbb{N}$$

, então

$$ 3^{3n} \equiv 1 \text{ mod 13} $$

Demonstração:

Seja

$$n \in \mathbb{N} $$

, tem-se

$$3^{3n} = (3^3)^n = 27^n = (2 \cdot 13 + 1)^n$$

Pelo Binómio de Newton {% cite Andre2000 -l 40 %} , tem-se: $$

\begin{align*} (2 \cdot 13 + 1)^n &= \sum^n*{k = 0} \binom{n}{k} (2 \cdot 13)^{n - k} \cdot 1^k\newline &= \sum^{n - 1}{k = 0} \binom{n}{k}(2 \cdot 13)^{n - k} \cdot 1^k + 1 \equiv 1 \text{ mod 13} \end{align}

mdc(n + 1, n^2 + 1)

cpmachado@protonmail.com (Carlos Pinto Machado) — Mon, 29 May 2023 19:32:46 +0100

Teorema:

Seja $\Psi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ uma função definida por

$$ \Psi(n) = \text{mdc}(n + 1, n^2 + 1) $$

, então $$

\Psi(n) = \begin{cases} 1, n \equiv 0 \text{ mod 2} \newline 2, n \equiv 1 \text{ mod 2} \end{cases}

Demonstração:

Seja $n \in \mathbb{N} $, tem-se

$$n^2 + 1 = n^2 - 1 + 2 = (n + 1)(n - 1) + 2 \equiv 2 \text{ mod } n + 1$$

Pelo lema de Euclides {% cite Martinez -L Lema -l Lema 1.4 %}, este resultado implica que